Статистические модели трендов. Авторегрессивность.

В чем состоит смысл понятия авторегрессивности / автокорреляции / персистентности? Расмотрим простейший процесс, в котором последующие приращения зависят от предыдущего. Обозначим приращение в момент времени t — X_t, в момент времени t + 1 — X_t+1. Соответственно, мы хотим, чтобы приращение в момент времени t+1 каким-то образом зависело от предыдущего t. Если выразить такую зависимость качественно, то у нас есть два варианта.

Первый вариант

Мы предполагаем, что положительное приращение X_t должно увеличивать вероятность положительного приращения в следующий момент времени X_t+1 и аналогично для отрицательного. Проще говоря, Х_t и X_t+1 положительно скоррелированны. Такая модель является «трендовой, персистентной», то есть покупая/продавая то, что растет/падает, мы смещаем вероятность выигрыша в свою сторону.

Второй вариант

Мы предполагаем, что положительные приращения X_t должны увеличивать вероятность отрицательных в момент времени X_t+1, а отрицательные приращения — положительных. То есть X_t и X_t+1 отрицательно скоррелированны. Такая моделья является «контр трендовой, анти-персистентной», то есть продавая то, что выросло и покупая то, что упало, мы получаем статистическое преимущество.

Соответственно, если закодировать эти наблюдения в виде общей формулы мы получим:

X_t+1 = C + A*X_t + W_t, где С — это смещение мат. ожидания, A — коэффициент авторегрессии, W — белый (к примеру, гаусовский) шум.

Для простоты предположим, что C = 0; тогда при A > 0 получим первый вариант из расмотренных выше, а при A < 0 — второй. При A = 1 получаем случайное блуждание. Если A по модулю > 1, модель теряет устойчивость, что характеризуется взрывным (экспоненциальным) ростом/падением или расширяющимися колебаниями с экспоненциальным ростом амплитуды. Если еще больше расширить модель, то в общем случае она может зависеть от нескольких значений в предыдущей истории, то есть зависимость будет иметь вид: X_t+1 = C + A1X_t + A2X_t-1 + A3X_t-2 +… + AiX_t-i-1, но мы ограничимся рассмотрением случая с единичным лагом и C=0 как наиболее характерного.

Теперь рассмотрим, как этот простейший пример будет выглядеть. Для этого возьмем исходный гауссовский шум:

И применим к нему нашу AR(1) (авторегрессивность с 1 лагом) модель с С=0 и с различными значениями A. При A=0.9 получим следующее (сверху — результат авторегрессивной модели приращений, снизу — интеграл этих приращений + аддативный шум, то есть приближение к случайному блужданию рыночной модели):

Та же самая модель при A=0.15:

Зависимость слабая, но несмотря на это, хорошо видно, как возникают локально-трендовые участки на графике.

Так жеесли мы построим облако точек, где по оси X — приращение X_t, а по Y — приращение X_t-1, эта зависимость будет отчетливо видна:

Теперь переходим к оставшейся части. Очевидно, что стационарных зависимостей на рынке нет, поэтому автокорреляционная функция приращений имеет тривиальный вид. Из этого следует, что такие зависимости могут быть описаны лишь, в лучшем случае, нестационарными моделями, то есть такими, в которых вид этой локальной зависимости не остается постоянным, а изменяется время от времени. Аналогично введенной в предыдущем посте «Статистические модели трендов. Смещение среднего», мы можем ввести кусочно-постоянную функцию, но на этот раз она будет описывать не смещение среднего, а значение коэффициента регрессии A. Таким образом можно получить участки, на которых авторегрессия носит локально-трендовый характер (A>0), на других — локально-контртрендовый (A<0), чтобы в конечном итоге удовлетворить наше условие тривиальности АКФ.